Ensembles finis Exemples

$x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 18$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Regroupez les termes.

$3 x^{3} - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Étape 1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3} - 9 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 9 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3)$ .

$3 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 18 = 0$

Étape 1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$3 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 3 u - 18 = 0$

Étape 1.5

Factorisez $u^{2} + 3 u - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $3$ .

$- 3, 6$

Étape 1.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 6) = 0$

Étape 1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 1.7

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $3 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 1.7.2

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x + x^{2} + 6) = 0$

Étape 1.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Étape 3

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 3.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 4

Définissez $x^{2} + 3 x + 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} + 3 x + 6$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} + 3 x + 6 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Soustrayez $24$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.4

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 4.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Étape 4.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.3

Soustrayez $24$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.4

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.2.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{15})}{2}$

Étape 4.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- i \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{15})}{2}$

Étape 4.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

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Étape 4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.3

Soustrayez $24$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.4

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.2.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{15})}{2}$

Étape 4.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (i \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{15})}{2}$

Étape 4.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

Étape 6